Period
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数学科の新入生に向けて ～数学科に入る前に知っておく/やっておくといいかもしれないこと～ - Period-Mathematics
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笑わない数学というテレビ番組で多分Wikipediaから持ってきたんじゃないかという記述を見つけたのですがそれは私が書いたものだったのでやっぱりWikipedia編集はいいなという気持ちになりました
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@Kiwamu_Watanabe
そもそも「存在」という単語が、数学用語としてなら（私の認識では）与えられた公理系（基礎論以外ならZFC）から∃A,φ(A)という論理式が証明可能な事、としっかり定まっていますが一般用語としてはそもそも未定義用語に思うのでその主張はそもそも真偽を問えないものではないでしょうか
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やっと類体論の記事を書きました．ユーザー目線での大事な心構えを書いたつもりです
使うための類体論 ～類体の定義，そして理論の肝，また展望を少し～ - Period-Mathematics
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数学科などの人々にとって、概念の正確な定義をまずは抑えるという営みが中高生（もっと言えば世間一般）には全然当たり前なことではないというのは盲点だろうと思う 例えば高校生は実数の定義を知らないけど実数を使い倒すし上に有界な単調増加列の収束性を使う 極値についてもそうだろう
1次独立の定義は言えないけど、ℝ^3の3つのベクトルが1次独立であることを示す問題を出されたら、3つのベクトルを並べた行列の行列式が0でないことを確かめようとする
これ、「きはじ」の大学生版だよな……
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スマホで数式をよく打つ人は辞書登録をされている方も多いと思いますがその際TeXコマンドで登録しておくとコマンドを覚える勉強にもなって一石二鳥です 参考までに私が使っている例を載せておきます（一部TeXコマンドでないですが）
ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ 𝔽 ∅ ∈∋∉⊂⊃⊕⊗⊔∤︎ ∪∩≃≅ ⊢ ⊨ ℘ ∞
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実はフェルマーの最終定理の証明でも少し似た論法が使われます
ある種の楕円曲線Eに対してある対象ρ^-_{E,3}が既約なときEはモジュラーで、ρ^-_{E,3}が既約でないときもEはモジュラーということが示せるので結局全てのEはモジュラーと結論付けます
（この論法はワイルズの3-5トリックと呼ばれます）
この (3) の証明を初めて知ったとき，たいへん面白いと思いました。
√2^√2 が無理数かどうかは結局 (この証明では) わからないのですが，それでも
(無理数 x)^(無理数 y) = (有理数)
となるような無理数の組 (x, y) の存在がいえます！
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最近人気の『テンソル代数と表現論』を見ていたらジョルダン標準形の所の説明が私がいつか記事にしようと思っていた内容そっくりだったので一つ記事を書かなくて良くなりました 嬉しいです
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数学科の先生方はとにかく初学者や受験上がりたての高校生の頃の気持ちを酷いくらいに覚えていない人があまりに多すぎる そういう人が入門書などを書いて未来の数学者になるはずだった人の心を折るといった事案がかなり多いのではないかと私は危惧している
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学部数学科卒程度の数学リテラシーの自負がある皆さんは是非Wikipedia編集に（些細なところからでいいので）参加していって欲しいと願っています
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でもそれじゃあダメという教育は全くされない（何故なら受験を乗り越えることが目的だから） そういう教育をされていないのだからそういう風にはならないというそれ以上でも以下でもない 大学できっちり教えていかなければならない事の一つ、というだけのことに思う
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「両立」すればいいんです 「わかった気になれる説明」と厳密な理論展開
私はどちらか一方に偏った書物は悪者扱いまではしないですがかなり不満を感じることは多いです
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そして非本質的な困難として
・説明が下手な数学書が多すぎる（例：非自明な例を挙げない、記号や用語の由来（語源）に言及しない、全体像を最初に説明せずいきなり話を始める、著者の主観（解釈）を病的なまでに書きたがらない、同じことを二度言いたがらない、強調の工夫をしないetc）
があります
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またジョルダン標準形を求めるのにヤング図形が出てくることに必然性があるという説明
も見つけることが出来、これは完全に初耳だったのでかなり嬉しいです
対称群の既約表現とジョルダン標準形の記述において、どちらもヤング図形が現れたことに読者は気が付いて何らかの関係があるかと疑問に思うであろう。その疑問への（１つの美しい）答えは [堀田2]の第8章を見るとわかる。巾零行列のなす集合（代数多様体）の幾何学を用いて— 続く—
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@no_emptyset
ア・プリオリに認める自然数というのを扱っている本を知っていてこの本の\mathcal{N}というものです 注意4.5.2にあるように確かに人間はℕ以前にこういうのを考えているというのも一理あると思います
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とりあえずこの記事を書いた感想は「なんで私が書くまで誰も書いてくれなかったの！」です
私が類体論の勉強を始める頃にこのような説明があれば私は膨大な時間を節約出来たはずです…
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@kaityo256
数学だとゼータ病なんてものもあるみたいですね
私がしばらくぶりで日本に戻ってきたとき，友人の数学者達の様子が少しおかしいと感じた．最初は数年間会っていないせいだと思ったが，すぐにその原因が判った．皆「ゼータ病」に感染していたのである．（栗原将人）
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世間一般に現代数学が理解されるのが難しい理由は
・（一般に）視覚的に描けない（目に見えない。頑張っても図式しか書けない）
・抽象的（一般にモチベーションがとても遠くにあって見えにくい）
・間接的（例：体を調べるのにその自己同型を調べるなど）
の三つが本質的な困難かなと思っています
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@Kiwamu_Watanabe
いずれにしても一般用語としての存在（を感じる/信じる/疑わない）については私は
に完全に同じです ここにも慣れという言葉がありますね
もしetale cohomologyの定義を見て「なんて美しいんだらう」と惚れ込んでしまふ人がゐたら，その人はH_et(X,F)の存在を疑わないであらう．かういふ対し方は芸術作品に対する対し方と同じである．ちよつと気取つて，存在とは対象への愛である，とも言えよう．（田口雄一郎）
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数学書は全体的な割合としてとにかく後者に偏り過ぎています それはちょうど幼稚園生に日本語を教えるのに広辞苑を手渡すようなものだということに未だに気が付かない先生方が多いのは不思議でなりません
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最近は編集する方も増えてきてかなり記述が正確かつ内容もかなり充実してきています
例えば
や
や
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@lovelovemath
嘘を本当のように書くのは絶対ダメですよね 自分も中高生時分に見た数々の啓蒙書の嘘にとても悩まされ今でも強く恨んでいるのでよくわかります
直感的な説明を書いたらそれはちゃんと正確でないと断るか正確な説明を一緒に書くかすればいいだけなんですけどそれが出来ない人が多すぎですよね
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@yamyam_topo
辻雄先生の論説でp進ホッジ理論の分野は論文を読んでも証明が正しいか皆自信が無くそしてそれを引用して新たに証明したりしているからどこかで理論が間違っているかもしれないというような記述を見た覚えがあります
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@recorderPS
y=y(x)というのは便利な表記ではありますがyがxの函数とは限らないから良くないみたいな事を解析学の教員に言われた経験があります 出版する本などでは避けたほうが良いでしょうね
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「自明」、「容易」という教育的に有害な言葉に対しては「単体では絶対に使わない」という案を私は現時点では採用しています
「〜の定義より自明」、「〜の定理より自明」、「straightforwardに示せるので容易」、「〜の場合と平行に議論出来るので容易」など「必ず理由を書く」という事です
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局所ラングランズ予想のウィキペディアのここの"Takeda"は謎の数学者さんこと武田秀一郎先生のようです 4次シンプレクティック群Sp(4),GSp(4)に対する局所ラングランズ予想を証明した論文とのことで大変驚きました
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多くの人が気になっているんじゃないかと思うような話題にピリオドを打つことを目的として立ち上げたブログをやっています。よろしくお願いします
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@dif_engine
完全無欠なものは無いとは私も思いますが皆それを承知の上である程度の提案を個々人でするのは後学に有益だとは思います
例えば数論幾何（特にディオファントス幾何）を目標に想定したフローチャートの提案として以下があります
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@phi_psi01
高校数学ももちろん数学に含まれると思いますがあまりにも学ぶ際に求められる姿勢等に違いを（少なくとも私は）感じるのでその意味で「高校数学は（現代）数学とは違う」というスタンスを私は取っています つまりは教育的な理由からということになります
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@nyan_haru_nya
ちらっとやり取り見ましたがプロフで独学の中学生とわかるので私だったらそこを考慮して、相手の間違えているであろうポイントを推測してさっさと答えを言ってしまいますね（つまり私も回りくどいと思いました） あれは相手に学部数学科卒程度のリテラシーがある場合にのみ有効な態度と私は思います
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今日は某所で以前ブレイクスルー賞を取られた望月先生による市民講演を聞いていました 非常に高度なことをやられているんだなという尊敬の念がわきました
そして前読んだD加群の入門的記事
の内容を久々に思い出し改めて感動するなどしました
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@Kiwamu_Watanabe
「数」も未定義用語というのもそうですね
これは数学ではなく哲学の問題なので私には論じる素養はありませんが私の推察によれば
「（身の回りに）存在する」:⇔その人の「（想定）聴衆がある程度慣れ親しんでいる/親しめる」
な気がしています。つまり「聴衆」というパラメーターが入っていそうです
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@goteten_math
私は結構解釈（言語化？）を大切にしています 例えばガロア群は体の（ガロア）拡大の”対称性の具現化”、ガロア理論（的考え方）は”モノを調べること＝モノの対称性を調べること”といったようにです いずれ記事にするでしょうがほとんどの数学書が解釈を軽視している現状に私は非常に憤っています
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@_codim
入門なら宮西・増田の代数曲線入門、上野の代数幾何入門で代数曲線の場合にまずは理解を深めるのがお勧めです 中学校でまず二次関数を重点的に扱うのと同じように
スキームの言葉や思想について知りたい場合は上野や飯高がお勧めです
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@f_sei
手順のわかりやすい説明とその手順に至る思想の解説の両方を両立すればいいんですよね それなら同意です
（1,2次不定方程式など思想の解説のしようのない真にテクニカルなものもありますが）
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@Submersion13
何も考えずにただただ行間を埋めていく作業はほとんど時間の無駄になりました 「証明を読める＝理解している」と昔の私は盲信していました やはり頭を使わないとダメですね
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@CerereBaccho
T=2のとき2^{1/3}=√a+q(a,q ∈ℚ)と書けるとするのが正しいというのとそもそも2^{1/3}の無理性からx^3-2はℚ上既約なのでこれより直ちにT=3がわかるというのとこれはガロア理論ではなく単なる体論だという3点が気になりました
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@kamo_hiroyasu
以前
もコメントさせて頂きましたが「受験数学」という単語を使うアイデアはかなりいいと感じています 高校数学と大学数学の間には確かに区別はないですが受験数学と大学数学は（明らかに）大きく違います
@kamo_hiroyasu
この問題についてはノーコメントですが受験数学（≠高校数学）における問題では普通の数学の立場からすると不備があるものが結構あると感じています 例えば「〜を求めよ（計算せよ）」といったタイプの問いが典型でしょうか 例えば1+1を計算しろと言われて「1+1」と答えるみたいなことをすれば☓等
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自分で調べないで何でも人に聞くという態度は世間一般的には煙たがられますが、数学徒に関してはあまりにも人に聞かず自分で調べすぎて最低限のコミュニケーションすら生まれないという事態が往々にしてあるので私は最近コミュニケーション目的で調べずにまず聞くというのをやっています
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@mapsto_math
群であってもただの部分群ではダメで正規部分群でないと割れないです
剰余環におけるかけ算がwell defined になることの証明にイデアルの性質が本質的に効きます
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@MathlogOfficial
アメリカ数学会もMathematics Subject Classificationという分野の分類一覧を出しているのでもし良ければ参考になさってください
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@goteten_math
こちらpのℚ(√-1)/ℚにおける相対次数をf、pの上にある素イデアルPの数をgとすると代数的整数論の一般論から[ℚ(√-1):ℚ]=2=fgなので上の場合はg=2よりf=1,下の場合はg=1よりf=2になります
よって𝔽をPの剰余体とすると相対次数の定義からf=[𝔽:𝔽_p]なのでそのような結論を得る訳です
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@Kiwamu_Watanabe
私が存在という数学用語を初めてちゃんと把握出来たのはZFCを知った（しばらく）後でした（それと同時にZFCをきちんと教えてくれなかった大学に強い不満も覚えました）
数学用語としての存在およびZFCについてそれらの大学の教養課程で教えるべきだという意見であれば賛成です
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@goteten_math
スキーム論を学ぶ際の難しさはやはりなんといっても抽象的（かつ複雑）な議論が続く所ではないでしょうか 私からは悪いことは言わないので上野健爾『代数幾何』を（なんとか手に入れて）読んでみてくださいとしか言えないです 本当にわかりやすいスキーム論の本です
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>著者の主観（解釈）を病的なまでに書きたがらない
「自明」、「容易」等に限ってはむしろ書きたがるという例外をうっかり失念しており書きそびれました、大変失礼致しました
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@rintaro11750504
こういう説明をよく見るんですが実際に環論の本を開くとイデアルとか言う概念が出てきまくって3則演算だけで済む話はほとんどないので「なんか裏切られた」という気持ちに個人的にはなりがちです
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@f_sei
例えば「p=q+2とする。このとき整数kを用いてp=2k+1と書ける」を「p:=q+2。p=2k+1 (∃k∈ℤ)」などと簡潔に書けるようになったらとても省エネになるし大学に入ってからの気苦労もぐっと減りそうです
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ポイントは物によっては日本語でも登録することと、以下のような顔張れば通常の変換でも出せるようなものも全部アルファベットで辞書登録してしまうということです：
×,→,↦, ≠ ,↷,≡,⇔,⇒
（↷はcurvearrowrightですが面倒なのでsayouで登録してます）
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@multiple_zeta
私もまだ周辺を完璧に理解しているとは言い難いのですが楕円曲線Eに対してa_p:=p+1-|E(𝔽_p)|なる量の”正体”はフロベニウス（をEから作られるガロア表現で写したもの）のトレースであると把握しています（従ってa_pはtrace of Frobeniusと呼ばれる量のようです）
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@yaki_zakana_2
まだ具体例などの言及に乏しいのでまだまだ完成品と言えるようなものではないのですが大変励みになります 応用例としては射類群から数体を知るだけでなくその逆の例であるHerbrand-Ribetの定理の証明なんかも書けたらなぁと思っています
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@RirahoRiraho
述語論理表記がおぞましく見えるだけで内容自体はイメージしやすい概念です どんな（小さな）εを与えてもxがaに十分近ければ誤差ε未満でf(x)はf(a)に値が近いということです つまりグラフはx=a付近で繋がっています
大学数学の勉強法でお困りでしたら拙ブログをどうぞ
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@kara1216_
最初に全体像から述べる、その概念や定理をよく体現した例の観察から初めてそれを一般化する形で正確な主張を述べる、などの工夫をするだけで大分心理的ハードルが下がります なのでそういった工夫の努力をしない教員側の問題だと私は思っています
これにも通じる話ですが
そして非本質的な困難として
・説明が下手な数学書が多すぎる（例：非自明な例を挙げない、記号や用語の由来（語源）に言及しない、全体像を最初に説明せずいきなり話を始める、著者の主観（解釈）を病的なまでに書きたがらない、同じことを二度言いたがらない、強調の工夫をしないetc）
があります
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@202208270930AM
噛み砕いた説明、適宜入る具体例、図解などなどとても工夫の詰まった記事に見えました 世界をまた一つ良くしてくださりありがとうございます
以下記法に関するつまらないコメント：Im,Kerのフォントが気になりました。こういうのは\operatorname{Ker}などと打つと綺麗にでます
商集合はG/~ですね
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@goteten_math
（十分調査した上で、は前提として）あまりあれこれ考えすぎずに公開してもいいのではないかと思います 「個人の解釈ですが」などとちゃんと釈明しておけば（普通の人は）誰も叩いたりなんかしません 昔のgotetenさんがそれを見てより理解が深まると思うなら公開する価値は大いにあると思います
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基本的に私が記事を書く動機は大体いつもこういうものなので一番の理想は書くことが何も無いことです（記事の執筆は自分の成長には繋がらないので本当ならやりたくないですが苦しみの再生産はもっと嫌だというだけです）
しかし残念ながら今の所書くネタは色々とあります
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@goteten_math
射f:A→Bによるbのファイバー（＝bに行く元全体）はaKerfという形で書けて、一般に部分群Hに対してaHとa'Hとの間には全単射があるのでbのファイバーとb'のファイバーは同じ濃度です だからそれで大丈夫だと思います
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@mntneko_
これでわかりやすくなるかは怪しいですがN_1 ∩... ∩N_rたちのなす集合が開基になるという言い換えはできますね
下にあるように準基は位相を生成するもの、として覚えてその具体的な位相の形について述べたのが定義の方、として覚えると個人的にはすっきりします
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はてなブログに投稿しました #はてなブログ
抽象代数学の威力を具体的な問題で体感する - Period-Mathematics
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@Kiwamu_Watanabe
やはり一般の「存在」と用法が違うので少し不自然に聞こえます 数学者にとっても「複素数は存在する」が真なのではなく「ZFC⇒複素数は存在する」（かなりインフォーマルな書き方ですが）が真なだけではないでしょうか？ ZFCさえ知れば哲学でない方は理解できるという方も少なくないと思います
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@zassoukei
@multiple_zeta
4年前一度復刊していた
んですがまた絶版になってるんですかね…
あのような名著が絶版になってしまうのは甚大な損失に思います
岩波書店自然科学書復刊
好評につき追加も入荷しました!
『代数幾何』上野健爾/著 5600円（外税）
古典的な代数多様体の理論からはじめ，スキームの理論を導入，さらに複素解析空間の理論への応用を解説．
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@chyuki5
これは以前Discordで私が話題にしたことがあって議論の結果「理論Tにおいて定理Aから定理Bが”導かれる”とはT⊢A→Bという意味」という結論に至りました
T⊨A→BであればBが真（T⊨B）なので自明に真ですがT⊢A→Bとなるとアプリオリには（i.e.完全性定理を経由しないことには）この理屈は通らないです
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