池田 岳
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代数多様体の組合せ論的、表現論，可積分系 著書「#テンソル代数と表現論」「#数え上げ幾何学講義 」数学を学ぶ上でヒントになりそうなことがあればtweetしてます。たいていは学生と話して気付くこと。早稲田大学基幹理工学部数学科
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フツーの人が想像つかないくらいに，何かに打ち込んでる人がいたら，あからさまに害のあるものでない限り，きっと人類にとって深い意味のあることなんやろうと想像して，みんなで応援しよう，というくらいの気持ちをみんなが持っている社会がいいな．
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学生には「論文を最後まで読んでもらえると思うな」と言う。
タイトルでスキップ、アブストで退場、1ページで興味を失う、イントロまでは読んでくれる人、それぞれに何かを届けるように。少しでも先まで読んでもらえるように。なるべく早く、大切なことを書く。
申請書もある程度そう。
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この意見には100%反対です。
線型代数や微積分を学ぶ過程の中で数学という学問の性格をじっくりと吸収し研究へと向かう姿勢を培ってゆくことができるのです。その段階の教育を我々プロが担わなくてどうするんですか。
ヨビノリさんの活動には尊敬の念を持ってますがこの件は勘違いなさっている。
「学部の基本的な授業は我々プロに任せて全大学で動画共有し、大学の先生は専門的な授業だけするのが理想」全く同意です。「基本的な事項を研究の一線で活躍するプロの目線から学ぶ」というのは今は無理で、基礎科目を現代的にアップデートをせずに、ご専門だけをアップデートしてる先生が多いです。
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ヨビノリさんの件「元記事を読まずに見出しだけで適当なコメントしちゃう」のはまずいですね．恥ずかしいです．
記事を拝見して，話題のコメントに続けて「学部での授業を心の底からやりたいと言っている先生方をほとんど見たことない」のところが引っかかりました．
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数学書の場合、1日に1行未満で問題ないです☺️
何故か哲学書を一日に何ページ読めるかについてのツイートを複数見かけた。が500頁,700頁は全く馬鹿げている。50頁,70頁でも読み過ぎだ。一日中専念できても2,30頁が限度。読むのは一桁頁で残りを考えるのに使うのが適切で、マイナス頁の日も必要だ。そうなればその本は一応読めているといえると思う。
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我々は「ベクトル」をすでに「知っている」．しかし，いったんは<知らないふり>をして「ベクトルの集まり」がみたすべき性質を先に公理化し，その「集まり」のメンバーをベクトルと呼ぶ．こういういわば倒錯的な態度を身に付けるのが「ベクトル空間」を学ぶタイミングですね．
「数字であそぼ。」第6話で「ベクトルの集まりがベクトル空間じゃない。ベクトル空間が条件によってみたされた時、それの元をベクトルと呼ぶんだ…」と横辺が理解するシーンがあります。ここで躓く人は多いらしいです。
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数学の独学についてときどき話題になってますけど、ぼくは数学ほど独学がカンタンな学問はないと思ってます。
本や論文にぜんぶ書いてあるから、それをただ読んで考えればよい。
障壁があるとしたら《定義通り》という態度を身に付けられるかどうか。
それを身に付けるには「ちゃんと読む」こと。
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数学料の二年生さん
授業がまったくわからず、課題が解けないからネットで類題を探して写す。どうにか単位は取れるけど、これは三年生以上で通用しないんじゃないかと心配。
そういうことを書いている人がいたので、どういうアドバイスが良いか、今日一日考えます😉
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ベクトルって何？
ベクトル空間の元です。
テンソルって何？
ベクトル空間のテンソル積空間の元です。
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これが数学者の基本的な態度だということに、いつ気がつくか？
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数学者どうしはいつも厳密な言葉で論理的に対話しているかというと、ぜんぜんそんなことないと思います。
むしろあやふやなことを言い合ってる段階はとても大切です。最終的には、ガチガチに論理的にできるという確信がある。
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大学の数学の授業についてゆくためには「カンタンな命題」の証明が自力でできるようになることが大切です。
定義に当てはめるだけでしたがう命題です。頭の中で0.1秒、ノートに書いて1分でできることを目指してください。はじめは1週間かけてもいいです。必ずできるようになります。
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数学と「頭の良さ」
自分のこと言うと、複雑なことを素早く正確に把握して的確に運用するというような能力は平均をかなり下回る。
なんで数学の研究ができてるかというと、大事だと思うことをしつこく考えて、自分なりにわかるまで諦めないからだろう。諦めることもたくさんあるけど。
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ノーカウント。つまり研究業績としての評価はゼロ。これは学問が健全に発展するためには手放してはいけない考え方でしょう。
既に知られていることを再定式化して自分の結果であるかのように発表する人は残念ながら存在します。先行研究に最大限のリスペクトを示すかどうかでおおむね見わけられる。
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永田雅宜先生は大学で数学を学び始める人たちへのアドバイスとして「暗記しないこと」を強調されていた。
これだけでは真意が伝わりにくい言葉ではある。
高校で数学が得意だったはずの人が大学の数学のスタイルにうまく適応できないという場合は、この言葉にヒントがあると思う。
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学振の申請書とか、科研費などのグラントもそうだけど、最初の段落がまずは勝負だと思った方がいい。
背景の詳しい説明はいいから、何をやろうとするのかを強いキーワードを使ってガツンと書くべき。「学術的位置づけ」もあった方がいいけど、はじめは簡潔でいい。
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♪「たしか戸田方程式の解き方は前に教えたよね」
＆「あ，でも，まだ身についてなくて」
♪「ええと，これは運動量，momentum ね…」
＆「…」
♪「あれ，運動量知らない？」
＆「高校で生物選択だったので…」
（略）
♪「あれ？慣性の法則とか運動方程式も知らない？？？」
ってなって …
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大学の1,2年生で、自分がやりたいことがわからないって悩むのはいいけど、それがすぐに見つからないからといって自分を責めなくていい。
大学レベルでは、どうしても、やってみないとわからないことが多い。
だからまずやってみるしかないの。
あ、大学院は目的をしっかり持って入ってね。
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そんなに急ぐ必要ないと思う．１年生は線型代数と微積分．その中にいろんな要素が含まれています．急ぐ必要はないです．
背伸びをしたくなる気持ちはわかるし，自由になんでも勉強すればいいけど「1年生のうちにすませておかなくちゃ💦」ってことはないです．急ぐ必要はない．
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自分が考えたことを自分が考えた順番で書くと読みにくい論文になりがち。
考えているうちに目的や結果が予定とは違ってくるのはよくあることだから。それは悪いことではなく未知の真理に向かうときはいつでも起こること。
書くときは、あたかも目標に向かって一直線にできたように再構成するべき。
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「初等ガロワ理論講義」という小冊子を10数年以上前に作りました。
ガロワ理論の本はあまりにも多いので、出版するという話にはなってません。
線型代数だけ知ってたら、群も体も知らなくても、ガロワ理論の理解はできる。これを実践したテキストです。
興味ある方はいらっしゃっしゃいますか？
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大学院生と話してて、気がついた
・それ、式を使って書いて！
・それ、言葉で言ってみて！
を自分が両方とも言ってることに。論文書くとき、使いわけられる方がいいので、基礎トレーニングとして、自分でやってみるといいと思う。
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ぼくは数学的対象を擬人化しない派です。
「代入してあげる」とかはぼくのゼミでは絶対に直させます。
「わかりました」と言いながら1年間「あげる」と言い続けたツワモノもいましたが😓
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うまい講義のお手本をみた
0) 興味の対象とキーワード
1) 基本対象の定義
1’)どんなものと関係しているか、具体例とキーワードを出す
2) 主要なテクニックの基礎
2’) テクニックが具体例でどう使われるか
3) メインの結果を述べる。この段階で基本テクニックをどう使うか明らかになっている
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数学の勉強を始めたばかりの若い人は、数学者ならば自分の研究の周辺の知識はほぼすへて熟知していると思うかもしれません。
実際は、案外そうでもないと思います。
こんなにすごいことができるのに、なんでこんな基本的なことも知らないの？っていうことはよくあります。
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「線分を平行移動してもその長さは変わらない」ということを中高生（小学生も）は「正しく」理解することができる．線分，長さ，平行移動などを正確に（厳密に）定義しなくても．宇沢弘文氏はこれを innate な理解力と言う．初歩の段階では，基礎概念を厳密に【定義してはいけない】ともはっきり．
数学科などの人々にとって、概念の正確な定義をまずは抑えるという営みが中高生（もっと言えば世間一般）には全然当たり前なことではないというのは盲点だろうと思う 例えば高校生は実数の定義を知らないけど実数を使い倒すし上に有界な単調増加列の収束性を使う 極値についてもそうだろう
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中学の幾何でやる証明って，補助線を発見しないとできないの多いし，高校の微積分の証明って，めっちゃ巧妙なのが多いし，証明ってものは頭が良くないとできないものだって高校までに思い込まないかな．
もっとカンタンで＜そのまんま＞っていう証明は大学でトレーニングしないとダメみたい．
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個人的には、存在とか実在とか、まじめに考えないようにしてます。学生の頃に哲学の本を読んでみて、結局何一つわからなかったので。
でも、虚数は存在するんですかってやっぱり聞かれるから「ええと、その前に、1は存在すると思いますか？」と問い返すことにしてます。
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音大の先生でさえ、例えば音程を周波数により理解してくださらない方もいらっしゃいます。
音楽を数字を使って語るのがヨクナイことと感じておられる？
どうにか伝えたいのです。
完全5度の周波数比が2:3だと意識しないで楽器を演奏することは不可能だと感じるんですが、そうでもない方も多い。
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大学が数値目標を立てるということそのものが大きな間違いだとぼくは思ってる。
従来のモノサシで数値化できないコトを発見するのが大学の役割なのに。
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概念の定義をよく読んで《そのまま》理解すること。簡単な例を自分で作ってその概念に慣れること。
初歩はそれがすべて。
定義をよく読まないで、字面だけで勝手に解釈したり、当てずっぽうで理解した気になる、というのが、数学の《闇》の始まりです。
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数学的な概念の「意味」を求めるのはやめた方がいいと書きました．「定義の通り」が基本だと．
これは，あくまで初歩の段階のこと．
その段階を過ぎたら「なぜそう定義するのか」を考えるべきです．あくまで数学的に．それは言うまでもないと思いましたが，短い文では伝わりにくいかもですね．
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数学は、基礎概念の定義ができるという要素において、独学者にも優しい学問です。
そのことに注目して、定義通りに議論するという習慣を身に付けることに努めてください。
もちろん、人と話しながらやる方が楽しいけれど、すぐにそれができない人もまずは本から始められるから、がんばって👍
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ChatGPT で線型独立性に関する証明を聞いてみたら、見事に典型的な誤りを答えました。
学生に対して、何がどういう意味で誤りなのかを丁寧に説明し、ようやく正しい証明を答えてもらうのと、ほぼ同じ内容の対話を繰り返すと、正しい証明になりました。
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球面調和関数ってなんて面倒で複雑なものなんだろう。水素原子のシュレーディンガー方程式の勉強をして思いました。
だけど、複雑に見えるパラメーターはすべて群論的、あるいは表現論的に意味のあるものなんだと、山内・杉浦「連続群論入門」で知って、風景が変わりました。
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ものすごーくベーシックなアイデアをよーく理解して、それを基礎に、ほんの小さな飛躍を重ねる。
数学に限らず、何かを学ぶコツだと思う。
今日から一年生の線型代数の講義が始まります。上記の勉強の態度が身につくように指導するつもり。
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数学の本の論理を1人で追えるようになる。
これは数学科の4年生のゼミ
ではじめてできるようになる人もいます。それでいい。
でも、1人で本を読んで会得する人もいる。ぼくが言いたいのは、一部の「天才」だけがそれができるというわけじゃないはずだということ。
定義に意識を向けなさい！
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「勉強」から「研究」に踏み出すこと．難しいといえば難しい．
でもそれは「必ず成功する研究」をしようと考えるからじゃないか？ 思い通りにいかないのは当たり前なので，とにかくやってみて，失敗すればいい．絶対に失敗したくないのなら，最初から研究をしようなどと思わないことだ．
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V,W を線型空間とするとき、Hom(V,W) が「自然に」線型空間になることを示せ。
このくらいのことについて、何一つ省略せずにちゃんと証明が書けるということは、一つの基準かも。数学に対して自力でまっすぐに向かうための。
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斎藤正彦先生の「線型代数入門」の《新しい》点の一つ、つまり佐武先生の本に欠けていた内容は、行の基本変形、つまり掃き出し法です。
斎藤先生の本の１つの欠点（私が講義に使う場合に困ること）は、列の交換を使うことです。列を交換する方が、標準形を《きれいに》出来ますが、失う情報もある。
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(1) 線型代数をひととおり勉強した。その知識を生かしてもっと面白いことが知りたい😁
(2) 表現論とかいうものを勉強したい。けれど難しそう😰
そういう人に向いています。
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大学で教育専任のスタッフを用いて基礎教育をオンラインで画一的に実施するべし。
この意見が出てきて強くなってゆくことは以前から予想していた。
「来たな」と思って強く否定してみたのは、ちょっと拙速だったかもしれないけど、思った以上にさまざまな賛否両論が聞けてまずはよかった。
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後で使うからとりあえず行列の足し算と掛け算の練習をしておこう….
じゃーなくて、最初の最初から線型写像を表現しているのが行列なのだと宣言して線型代数を開始する。
線型方程式を考えた瞬間に線型写像は《そこにある》ものなので、まずそれに慣れて、興味を持ってもらう。
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「引っかかりました」の意味は，この問題提起について，実際にそうなのかなという，まずは単純な疑問です．もちろん，それが本当なら由々しきことです．
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「2つの線型写像の合成が線型写像である」とか《自明》なことほど、実は講義で教えるのが難しい。
先生が「自明です」と言っても、多くの学生にストレスを与えるだけであまり効果がない。だからってさっさと証明を板書しても、学生はノートに写すだけで自分で考える機会がない。
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スキーム論を含む代数幾何学の教科書としては Hartshorne がよく読まれていますが、他に
1. 上野「代数幾何」
2. Ravi Vakil “The Raising Sea”（Stanford 大学の講義ノート）
2. Mumford “Red Book”
3. Grothendieck, Dieudonne “EGA”
4. 永田・宮西・丸山「抽象代数幾何学」
などがあります。
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「先生は大学院生に何を求めますか？」研究室訪問にきてくれた学生君に聞かれたことがある．
うーん，君がどんな（風な）ことをやりたいかがまず大事．学生に何かを求めるっていう発想はないです．あえて言えば，むしろ，君が指導教員（候補）に何を求めるかが大事なんじゃないかな．
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「テンソル代数と表現論」
1. 広義固有空間
2. ジョルダン標準形
3. 行列の指数関数とその応用
4. テンソル代数
5. 有限群の表現論
6. 対称群の表現
7. シューア・ワイル双対性
8. 対称群と一般線型群の既約指標
[佐武] より丁寧に、[岩堀] よりも内容を厳選してわかりやすく。
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ぼくの共同研究者のM君はよく play with という言い方をする。数学的な概念や対象で「遊んでみる」とか「たわむれる」という感じか。
つまりは具体例を計算するということに近い。
それが「数学をしている」状態そのものなのだ。
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「テンソル代数と表現論」の姉妹篇「行列と行列式の基礎」を2023年の秋の出版を目指して書きます。
これは線型代数の入門書です。立派な本がたくさんあるので、もう一冊、増やすことの意味を納得してもらえるようなものにしなければなりません😌
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イチ推しって1冊でなくてもいいですか💦
「連続群論入門」山内恭彦・杉浦光夫（培風館）
に出会わなかかったらぼくは数学をやっていなかったかも．
#私のイチ推し表現論本
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＜行列式と置換の符号は本質的に同じもの＞
多くの教科書では，まず置換を説明してから行列式を定義する．それを逆転して，なおかつ理解可能なストーリーを作るというのが構想であった．やっとできた．
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以前にも書いたけど、リー代数の教科書は R. Carter の Lie algebras of Finite and Affine Type が良いです。
英語、高い、厚い、だから重たい、というのがつらいかもしれないけど、記述は素直で丁寧です。例も多い。
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「テンソル代数と表現論 — 線型代数続論 —」（仮題）
1. ジョルダン標準形
2. テンソル代数
3. 有限群の表現論入門
4. 対称群の既約表現
5. シューア・ワイル双対性
第1章を除いて一通り書いてみたら約70ページになった．まだ紙面に余裕がありそう．シューア関数の章を追加するかな〜．
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佐武一郎先生は整数論と微分幾何学、そし��代数幾何学まで、広い視野でいくつもの基本的なモノの見方を示した研究者だと思います。
ぼくは東北大学で佐武先生の講義を受けることができた最後の学年で、T. A. Springer の Linear Algebraic Groups をテキストにしてくださった講義には（続く）
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質問は「わかりません」でいいから。そんな質問の仕方はダメだとか言わないから遠慮せずに。
早稲田大学の基幹理工だと月に2人くらいはメールでアポをとって研究室に来ます。もっと来なさい😊前に勤めていた岡山理科大学の応用数学科だと毎週、毎日という感じでした。
私も「いつでも質問に来てください」と伝えたけど、結局研究室まで聞きに来る学生さんは今年は一人だけだったなぁ。授業終わりに質問をしに来てくれる学生さんはそこそこいたけど。
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研究業績としてはノーカウントだけど自分の研究は確実に進んでいる。そう考えてさらに前に進む意欲を持ち続けることができる。これが必要。
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数学の研究を志す若い方へ（若くなくても^^）
〈力学は勉強してください〉
といってもどの本を薦めればいいかわからない
ランダウ・リフシッツ？
もっと読みやすいのでいい
ファインマンはいいのかな〜
それか高校の教科書を微積分を使って自分で書き直す？
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数学の対話を成立させるためには、その前にいくつかの「扉」を開けておく必要がある。
例えば竹山さんの「数学書の読み方」は自力で扉を開けるのに役立つだろう。
もっと素朴なレベルの、数学の内容の手前にあるいくつかの扉も、実は開けとかないといけない。
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行列の固有値を求めるときはいつでも特性���項式の計算をするものだと初学者は思うかもしれない。
固有ベクトルを賢く見つけて固有値も同時に求めることもある。
そういう意味でも、ペロン・フロベニウスの定理の文脈で、いわゆるベキ乗法で固有ベクトルを構成するという内容は知っておく方がいい。
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反応が大きいので、ちょっとずつ補足します。
これが必要なのは拙速だった💦証拠で、お恥ずかしい限りですけど。
「100%反対」は、主に、大学側の受け止めとしての、堀田さんの見解に対してです。
ヨビノリさんは、大学の外から提案してくださっているわけで、それ自体はありがたいことです。
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何度か書いたけど
「抽象的な群をわかりやすい行列に対応させて理解しよう」という風に表現論への動機付けをするのは残念😢な感じです。
先日、そうおっしゃっる先生に会ったのでガクゼンとした。
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厳密な定義に中高生の段階からこだわると，自然な理解力を阻害してしまう危険の方が問題で，壊れやすい innate な理解力を大切に育てることが大切だと宇沢は説く．大学の初年度の科目を受け持つ教員は，innate な理解力に最大の配慮を払いながら，厳密な定義を用いる文化へとうまく導く責任がある．
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みなさんご指摘のように、高校や塾で、問題を速く解くこと、そのために解き方のパターンを暗記することが強調されることの弊害は明らかにあります。
まあ、それを単純に否定するのも難しいので、大学からは違うよというメッセージをどう練ってうまく伝えるかが問題です。
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群が大切なのは，それが何モノかに作用するからだ．作用のありさまから，そのモノのことが深く理解できる．どんなモノに作用したとしても，結局は線型空間への作用が引き起こされる場合が多いので，線型空間への作用が基本的だし研究もしやすい．その問題意識から生じる分野を「表現論」という．
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誰にもじゃまされず、何にも気がかりなことがなくて、ほぼ1日かけられるなら、調子がよくて2,3ページかな。ちょっと引っかかったら1日で1ページも進まないですね。1行で1週間越えもあるし。
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数学の本を書く立場からすると「行間」も書いているという意識です。行間を書くのが上手いのは J. P. Serre とか。
読み進めるにつれて、行間を埋める習慣が自然に身につくような本がいい。
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「勉強」と「研究」について盛り上がって（一人で勝手に😆）ますが...
両者の間にはほんのわずかな意識の違いしかない．
もっと言うと，自分で「研究」する意識を持てば，必要なことを「勉強」するスピードが100倍になります．その意味では「研究」の方が「勉強」よりカンタンなのです．
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定義を読んですぐにわからないとき、まずは定義を何度も読んで、具体例を考えたり、簡単な命題の論理を追う。
勝手な妄想を始めない。
自分で考える前にネット動画を探しにいかない。
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線型代数学続論という授業は結構あるみたい。ジョルダン標準形、商空間、テンソル積や外積空間など。
教科書は、現状では、斎藤毅、竹山美宏、そして佐武一郎、諸先生のかな。
ぼくの本は表現論まで学べます😊
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好きな物理の本シリーズ😉
バークレー物理学コース「電磁気学」
特殊相対論を使って静電場から磁場が生じる理由を説明するところがめちゃくちゃ面白い
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ああ「特異値分解」は，行列の対角化と比較するよりも，いわゆる「階数標準形」と比較する方が理解しやすいですね．そう思えばまったく自然な考え方．実 (m,n) 行列に対して GL(m,R)×GL(n,R) 軌道を考えるのと O(m)×O(m) 軌道を考えるのとの違いです．複素ならば U(m)×U(n) です．
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具体的な例をたくさん計算することで、理論的にもほんのちょっとだけ向こうに進めるのだと思う。
ぼくの友達の「計算家」は書いた計算用紙が段ボール箱単位で増えていくと言ってた。そのうちに計算が枯れちゃうネタとそうでないものがあると。20数年前のこと。
とにかく計算はかならずプラスになる。
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ひとりの人の10数年分くらいの論文を全部読むのはいいよ。完全に読めなくても気にしない。何をやろうとしているのか、メインのツールは何か、とかに集中する。
理解できないところは、正直にフォローしようとせずに、いつか自力で再構成することを目指して、できることから手をつける。
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群を初めて勉強したとき、演算表が書けたら群のこと全部わかったような気がした。
そんなことじゃないと気がつくのは表現論を知ったとき。
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《わからない状態に耐える》
何通りかの意味で大切です
まず一般的に言って、研究はわからないからやるのだということ。わからないことを楽しむ。
数学的な概念を定義したとしても、その詳しい性質はたいていすぐにはわからない。わからないものを相手に論理を積み上げるのは、やはり訓練は必要。
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宇沢弘文「図形を移動したときに、その長さは変わらないという性質を暗黙裡に使っている。（中略）子どもたちは直観的にこのことを正確に理解している。しかし、平面幾何を教えるさいには、このことについては、決してふれないようにしなければならない。」
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ヒトの論文みて面白いと思い、自分なりにどうにか理解して、その先の結果を出すのに、10年とかそれ以上かかってること多い。
それでも、世界の研究の趨勢に遅れないのが、数学という学問のよいことの一つだと思う。
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次に「行列と行列式の基礎」を書いたら、その次はリー代数（リー環）の表現の本も書く気になった。昨日の夜にふと「リー環の話」が目に入ったときに。
J. E. Humphreys よりもお手軽で、Fulton-Harris くらいかもっと具体例の多い本。
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大学三年生の夏、佐武先生の「リー環の話」を一日一節のペースで読んだ記憶があるけど、そんなに早く読めるはずないよなと今は思う。
薄くて青と黒の大きめの本。
初めて読んだ数学書。
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「正標数の可換環論」池田岳・下元数馬
の執筆計画があります。下元さんはこの道のエキスパート、素人の私にもわかるように説明してくれる😉
出版社は未定😗
2026年の出版を目指します。
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ところで、フジテレビ「たけしのコマネチ大学数学科」(2006-2013)は秀逸でした。考える喜びをストレートに表現できていたし、たけし軍団の体を張ったアプローチに親近感を覚えながら、腹の底から笑えました。ピュアなところが好きですね。番組に携わった方々のことを深く深く尊敬しています。
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外積代数はテンソル代数の商として定義するのが簡明だけど、微分幾何の教科書では、たいてい交代形式を使って微分形式を導入している。それらが同じものであることを学部生にもわかりやすく書いてある本がない気がする。書かないとな。
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《…それでもなおローレンツは、エーテルの存在を信じて疑わなかった。先入観とはおそろしいものである。そうは言うものの、ものごとの本質をここまで追いつめ真実にせまっていったローレンツは、やはり偉大な物理学者である。他人のアイディアのもとで末梢的な計算しかやらない凡百の…》砂川重信
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研究者になるために必要な語学力（広い意味で）1. 自分の専門分野の基礎概念を表す単語の知識（普通に勉強してちょっと意識すれば身に付く）2. 論理的な表現の型（前項と同様）3. 高校1年生くらいまでの文法 4. 会話の基本的な型（質問の仕方，答え方など）5. 外国の文化や歴史に対する興味．
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「入門線形代数」（三宅敏恒著，培風館）については，繰り返し言及してきました．最近は，基本変形のことをあれこれ書いてますけど，三宅本が元ネタです．どうぞ手にとってご覧ください．薄い本（ぼくは薄い本が好き）で，記述は素晴らしく洗練されてますが，初学者には洗練されすぎかもしれません．
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線型空間Vを多様体とみなすとき「Vの任意の点における接空間は”カノニカル”にVそのものと同一視できる」
そういう性質を持つ多様体は線型空間に限る。
余計にわからなくなるかもしれませんが😅
多様体の授業で「線型写像の微分は線型写像そのもの」とか言われて、マジで意味わからなくて今考えてたんだけど、全然違うようにしか思えない
どこが線型写像そのものなのか教えて欲しい
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特異値分解による低ランク近似で画像を圧縮する。うーん、なるほどと思った。Steve Brunton の講義みて。
だけど、画像は縦横に並んだ数字だからってそれを行列とみなすのは、どういうことなのか。なぜそれが妥当なのか、説明している文献などあれば教えてください。
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