常微分方程式入門
@ode4phys
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物理を使うすべての人へ 当該書籍からの抜粋を不定期につぶやく著者アカウントです。 あくまで独り言なので返信は期待されませんようにお願いします。
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ありがとうございます…!!
ご紹介いただいた写真の3枚めは§1-1の練習問題です。 そのあとの練習問題の多くは、解の書き方が１とおりに決まらないため模範解答を載せていないのですが、それに代わる補足資料を用意してありますので、答え合わせにご活用いただければ幸いです。
【2022年のベストセラー】
『常微分方程式入門 物理を使うすべての人へ』
大信田丈志
常微分方程式は応用数学の出発点。何が本質で重要かを考えながら行ってきた物理工学系1年生の授業から生まれた入門書。微分方程式の本ですが差分方程式も登場します。田崎晴明先生推薦！
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@kosen_study
• 気をつけてご静養ください、と書きかけて手が滑った
説
• 治ってからも気をつけて登校してくださいね、と書こうとして言葉が足りなかった説
• そもそも急いでいて最後まで読めなかった説
いずれにしても先生もお忙しいんでしょうね…。 ともかくお大事に。
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流体力学「divとかgradとか電磁気学で習ってるよね？」
電磁気学「divとかgradとか物理数学で習ってるよね？」
物理数学「divとかgradとか流体力学で習ってるよね？」
（結局は自分で勉強するしかない）
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ある先生が繰り返し書かれていることなんですが、そこそこ賢い貧乏学生に「社会がサポートしてくれたおかげで学問を身につけ天職を見つけられた」と思ってもらえるのと「社会は何もしてくれなかった！ こんな世の中は…」と思い込むところまで追い詰めてしまうのと、どちらがいいか、だと思うのです。
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流体力学の課題や答案の採点で困ること：
• 手書きの u と v の区別がつかない
• さらに u と μ も区別がつかない
• 手書きでないのに w と ω を混同
• さらに v と ν も識別困難
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いわゆる「素人質問」について、卒業論文を提出した後の夕方に研究室に残っていた学生にお話ししたこと。
あれはたいてい本当の素人質問なので、それ自体を恐れる必要はありません。恐れなければならないのは、瞬殺できるはずの素人質問を瞬殺できず、準備不足が明らかになってしまうことのほうです。
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厳密さに欠ける文章を見たらなるべく意味が通らないように解釈してみせるという楽しいお遊びには魅力がありますが、それ賢さだと思いこむのは中学生くらいで卒業すべきであって、なるべく意味がとおるように解釈して有益なものを読みとる能力こそが大人の賢さだろうと思うことがあります。（定期）
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難しい問題が解けないときに思い出すべき数学者の名言：
「（難しい問題を解こうとして解けない）ほとんどの場合において、失敗の原因は、目の前の問題よりもモット単純でモット容易な問題をまだ解いておらないから、あるいはまだ解き方が不完全だからでありましょう。（続く）
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易しくないことを強調する書名としては『苦しんで覚えるC言語』が私の見たことのある唯一の例ですが、ほかにもあっても良さそうな気はしますね。
これならわかる！解析力学！
お前でもわかる！量子力学！
みたいなタイトルの教科書って，誇り高い勢のプライド傷つけそうですよね．難しそうな方が売れるとかないんですか？
と某出版社の編集さんにきいたら
世の人みんなそんなプライド高くない
と仰ってて面白かった（簡単そうな方が売れるらしい）
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物理屋や工学屋が「デルタ関数」と言っているのは、たいてい本物のデルタ関数ではなく軟化子（幅を持たせたデルタ関数）のことなので…。
① これを「デルタ関数はx=0でだけ∞だ」 と表現してしまうのがまずいのでは。
② 測度を持ち出されたら「じつは幅はゼロじゃないんだよ」と返すべきでした。
工学徒「デルタ関数はx=0でだけ∞だ」
数学徒「それだと2∞=∞だから2δ=δになってしまう。しかもμ({0})=0だから積分しても1にならない」
工学徒「測度0でも無視できないぐらい凄くデカい∞なんだ！」
数学徒「超関数としてxδ=0だからその考えでいくと1/xのx=+0に負けるデカさなんだが。」
工学徒「…」
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物理工学徒「１年生で減衰強制振動は厳しい」
親切な人「微分方程式を先に学ぼう」
数学科「受けに来たらいいよ（３年の科目だけど）」
化学徒「１年生で水素原子は厳しい」
親切な人「量子力学を先に学ぼう」
物理学科「受けに来たらいいよ（３年の科目だけど）」
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大学に入ると生物学は生物学の本当の姿を見せ、化学は化学の本当の姿を、物理は物理の本当の姿を、数学は数学の本当の姿を見せます。
昔の学生が「数学は哲学になる」と評したのは、存在がどうとか言い出すあたりを誤解したか、うまいことを言おうとこじつけたか、そのどちらかでしょう。
高校と大学のギャップを昔の学生は「大学では物理は数学になる」と言ったそうですが、これは不正確です。「物理は物理に変わりはないが、その本当の姿を見せるために数学を使うのをためらわなくなる」と言うほうが正しいでしょう。
そういうわけで #春から物理 の皆さん、数学書を探しに行きましょう。
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ものすごく多数のご意見がついていますが、私と同じ意見は少ないようです（見落としかもしれませんが）。
「①, ②より」でも「②÷①により」でも五十歩百歩。後者で書いたところで「なぜ割るんですか」という質問が出ます。
ここは「①②から a を消去して」などと"狙い"を書きたいと私なら思います。
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高校物理が数学との連携を封じられ〔中略〕不自由を強いられているという嘆きは多くの方々が既に書かれているとおりなのですが，大学に入ってその制約がなくなったからといって急に数学が使えるようになるはずもありません。やはり工夫して埋めなければならない高校大学間ギャップがあるようです。
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「ベクトル？ 高校で習ったから知ってる！」と油断していたら、いつのまにかオフチョベットになりかけている人へ。
物理的な３次元空間の方向と直結した"狭い意味のベクトル"と、線形結合の対象として８公理で定義した"広い意味のベクトル"の話の区別を認識できると混乱が避けられるかもしれません。
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「何を仮定して何を導いてるのか全く理解不能な文章を熟読して、筆者が暗に仮定している全ての事項を推察し、真っ当な議論を再構成する能力」
「何もかも意味不明な文章を読んで、その背後のちゃんとしたストーリーを補間する」
これはとても重要で、本当に物理に限る話なのか疑問にすら思うほどです。
当時はキレてたけど、今思えばそれこそが最も得難い訓練だったなぁと思う。
「俺たちは、何もかも意味不明な文章を読んで、その背後のちゃんとしたストーリーを補間する宿命を背負っているのだ」という覚悟。というか諦念。意味不明な文章に文句を言っても始まらない。諦めてやっていくしかないんや。
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微分方程式の解を天下りに cos ωt や e^λt で置くのが謎すぎる、何とかしたいと考える著者は結構いそうですが、どんな方針が可能でしょうか。
• 天下りでない解法（演算子の因数分解など）を主力にする
• 解析解は試行錯誤の産物である旨を強調し、失敗例も含めて記述
• あきらめて旧来の方針を踏襲
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ホントこれ。せっかく行列を習ったのだから行列を使えばいいのに、連立一次方程式を代入法で解いたり、2変数の1階差分方程式をわざわざ隣接3項漸化式に書き直したあと根拠不明の"特性方程式"が突然登場したり…。
実力向上の機会を捨てているという意味で「大学の授業をムダにしている」と思いますね。
私が学生のレポートや答案でよく見かけるのは、せっかく大学で新しい数学を教わったのに、高校までの知識を駆使してダサいやり方で問題を解くパターンですね。 それは間違ってはいないけれど、新しい考え方が身に付かないのは問題���というか、大学の授業をムダにしていると思います。
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電磁気学をMaxwell方程式から始めるとか、流体力学をNavier-Stokes方程式から始めるとかいうプランは魅力的に思えるのですが、難点がいくつかあります。特に、ベクトル解析を受講者が習得済みだと仮定したり、それに類する楽観的な仮定を置きがちなので要注意です。
流体力学「divとかgradとか電磁気学で習ってるよね？」
電磁気学「divとかgradとか物理数学で習ってるよね？」
物理数学「divとかgradとか流体力学で習ってるよね？」
（結局は自分で勉強するしかない）
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清水先生の本にある「本書の読み方」ですね。拙著も似たような方針です。
先日も、ある数学の論文の中身を理解するために、自分でこれをやりました。問題を定式化する部分まで読んで論文をしまい、その続きを（自己流で）再現できるか数日間考えたあと、論文に戻って答え合わせをするやりかたです。
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私の知る限り、工学部の学生が留年したりGPAが下がったりする最大の原因は、夜の部活などのせいで朝の講義を寝倒すことなので、対策として生活リズムの正常化が重要です。しかし私も朝は苦手だしデカルトも朝寝坊だったそうだし、早起きを説くのは本当に"良いこと"なのか？と思わないでもありません。
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@ShizueANANAN
こんにちは。FF外から失礼します。
対偶を日常の言葉で書くときの表現を少々いじって
「犯罪になるのは、バレちゃったからですよ」
とすると、だいぶ印象が変わりますね。
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ちょっと上級者向けのベクトル解析でよく言われる話だ…と思っていたら、続きに関連する話が書いてありましたね。
• 2次元の渦度は1成分
• 3次元の渦度は3成分
• 4次元の"渦度"である電磁場は6成分（BとE）
N次元空間で独立な回転は何種類あるかというと、Nから異なる2次元を選ぶ組み合わせの数だけあるので、N(N-1)/2種類になります。3次元なら回転は3種、100次元なら4950種です。
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例「楕円 x² + 2 y² = 1 の面積は？」
× ゼロじゃんww 何言ってんだwww
△ この等式を満たす点の集合の面積はゼロですね。
○ 囲まれる楕円領域の面積という意味だと解釈して解答します。…
（注：ここでは解答者の側の話をしています。出題側の立場で問題文の曖昧さを指摘するのは「あり」です。）
厳密さに欠ける文章や発言をなるべく意味が通らないように解釈してみせるという楽しいお遊びには魅力がありますが、それを賢さだと思いこむのは中学生くらいで卒業すべきであって、なるべく意味がとおるように解釈して有益なものを読みとる能力こそが大人の賢さだろうと思うことがあります。（定期）
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高校（生徒）と大学（学生）の違い。
習っていないかもしれない事項を使うのを（教師が自ら）封じる親切設計から、習っていない事項でも自習して追いつけという制度に切り替わるのがポイントだと私は思います。物理に微積を、化学に電子軌道をどこまで使うかなどはその反映に過ぎないわけで…。
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「博士号取得者なら専門外の分野でも勉強すればすぐ習得できる」という思い上がりから分野Aの専門家が分野Bのトンデモになる事例はいくつも見ました。他方「我々の専門分野はどんな博士号取得者だろうと決して容易に習得できるものではない」と言い切るのも、それはそれで別の思い上がりなのでは。
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信頼できる流体の教科書で、やさしいものと本格的なものの２冊セット、と考えると、私もやはり機械学会と巽先生の本の併用が最善だと思います。巽本単独だとベクトル解析とFourier解析が既習でないと厳しいでしょう。
『常微分方程式入門』の参考文献リスト（↓）でも、やはりこの２冊を挙げています。
巽友正先生の流体力学もお世話になっていて、特にP.64とP.344が好きですが、初心者に薦める本かと言うとあまり適切ではない気がします。JSMEと巽友正先生の2冊体制が初心者も含めて比較的いろんな層に良さそうかもしれないですね。
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@keihun939372
すみません。かなり前提条件に依存する話であるように私には思えます。
たとえば関西から岩手に来た先生が、地元出身の学生の言葉はケッタイだとか言い出したら"無礼に見える"でしょうけれど、京大の先生が京大の学生に関西の言葉で話すのは当たり前で、これはかなり話が違うように思いました。
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厳密さに欠ける文章や発言をなるべく意味が通らないように解釈してみせるという楽しいお遊びには魅力がありますが、それを賢さだと思いこむのは中学生くらいで卒業すべきであって、なるべく意味がとおるように解釈して有益なものを読みとる能力こそが大人の賢さだろうと思うことがあります。（定期）
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これについて「高校物理で微分積分を表立って使わないせいでΔt刻みの時間発展と積分の計算が噛み合わないのだろう」と受け取るのは話が逆で、数学での積分の理解が微小量の積算の裏付けがない逆微分公式の暗記にとどまっている限り、微積を物理に使うどころではない、というほうが正しいのでしょうね。
力学演習で苦労している学生の様子を見ていて特に痛切に感じたのは，力学の教科書に書いてある"時間をΔt刻みで進めながら考えれば初期位置と初速度から全てが決まる"という趣旨の説明と，高校で習ってきたはずの微分や積分の計算が，学生のなかでは，まったく噛み合っていないらしいことでした。
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同感です。厳密性が高いとか低いとかという話は定期的に出ますが、厳密性を犠牲にした代償に何を得ようとしているのかという視点が大事だと思います。
・数学は厳密性のチェックを諦めない学問。
・物理は厳密性のチェックの一部を諦める代わりに、自然との整合性のチェックを行い、理想化された自然を記述出来る学問。
・化学と生物は普遍性のチェックの一部を諦める代わりに、特殊系の有効理論を作り、複雑な自然を記述出来る学問。
と理解している。
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@Submersion13
逆行可能性のデモ実験ですね。
円筒壁の回転角を Φ = Φ(t), 可視化した粒子の位置を X = X(t) とすると
dX/dt = u(X,t)
u(x,t) = (Φ'(t)の汎関数)
によって X が決まるはずですが、十分に粘性が高い流体では
u(x,t) = Φ'(t) U(x)
のように t が分離できて、これから X と Φ の一対一対応が示せます。
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力学演習で苦労している学生の様子を見ていて特に痛切に感じたのは，力学の教科書に書いてある"時間をΔt刻みで進めながら考えれば初期位置と初速度から全てが決まる"という趣旨の説明と，高校で習ってきたはずの微分や積分の計算が，学生のなかでは，まったく噛み合っていないらしいことでした。
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私の本を執筆する過程でも、これに類するミスが頻発しました。原因は索引生成用のTeXマクロの不備（引数として認識されるはずの読み仮名が本文中に出てしまう）でした。
自分ではすべて出版前に見つけて修復したつもりですが、もしかして、じつはまだ見落としがあるかもしれない、と思うと恐ろしい…。
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@onoterakoya
失礼します。マジレスすると、数表として覚えるのは無理だし不要でしょう。
どうしても覚えろと言われた場合は、数表をExcelか方眼紙でグラフにして（面倒なら15度の倍数だけで十分）、そのグラフを目に焼き付けて「覚えた」と言い張ればいいと思います。
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武勇伝を語る側では「頭を下げて歩きました」など自分が対価を払っている感覚なのでしょうが（そういう人がいました）、実際は教員や大学事務の時間と労力を奪っているんですよね。うっかり応じると"何らかの事情で特別サービスをしたらその話がSNSで広まってしまった店"と同じ問題が発生しますし。
卒業単位が足りず、学籍担当部署や教員に泣きついて、「何とか単位取得できました（笑」という、大学側からすると大迷惑以外何者でもない話を面白話や武勇伝的に語る人を見るとイラッしちゃんですよね。
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「数学の本質は、数学は自由だ、というところにある」
模範解答を見て「途中式が違うからダメだ」と思ってしまう人には、この名言を知ってほしいと思います。途中は違っても正しい結果に到達する道はたくさんあるのですから。（その代わり"これも筋が通った考え方だ"と納得させる記述能力は必要です）
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高校と大学のギャップを昔の学生は「大学では物理は数学になる」と言ったそうですが、これは不正確です。「物理は物理に変わりはないが、その本当の姿を見せるために数学を使うのをためらわなくなる」と言うほうが正しいでしょう。
そういうわけで #春から物理 の皆さん、数学書を探しに行きましょう。
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ものすごい数があるのは本当にそのとおり（↓）で、常微分方程式の教科書など数えきれないくらいですが…。それにもかかわらず、自分の授業スタイルにマッチしたものを探そうとするとなかなか見つからず「よし、自分で書こう」となるわけです。あとはその試みがどこまで成功するか。
理工系の学部1,2年生向けの教科書(力学・電磁気学・振動波動論・物理数学・量子化学・熱力学あたりの本)は、本当にものすごい数があるけど、その大半は数十年前の教科書を適当に切り貼りした劣化コピーに過ぎなくて、存在意義ねぇよなぁと思っている。ChatGPTが教科書書いたらあんな感じになりそう。
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ヘルムホルツ分解が話題ですが、数年前、ある名誉教授の先生から「流体力学の分野でのこの分解の応用例をご存知ですか。わたしは応用例をひとつも思いつきません。」というメールが来て仰天しました。曰く「利用価値がないのなら、この分解を＊＊（某書籍）に載せる意義がないように思います」…。
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これこそ物理系の学科で #新入生に勧める数学書 の筆頭に挙げるべき本のひとつです。序盤は某有名参考書と重複しますが、だからこそ、区分求積法を高校できちんと学ぶ機会がなかった人には必読とさえ言えます。
そして中盤以降では、どどーん！と大きな図で相空間の考え方を説明しているのが魅力です。
『力学と微分方程式』山本義隆 （数学書房）
第1章 運動の記述と微積分入門
第2章 微分法と積分法の一般的な話
第3章 力学と微分方程式入門
第4章 調和振動，減衰振動，強制振動
第5章 2次元・3次元の運動
第6章 ケプラー運動と等方調和振動
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常微分方程式の中間試験に臨む全国の皆さんへ。解を求めたら左辺と右辺に代入して検算することをお勧めします。
試験勉強で答え合わせをする際にも、模範解答と見比べるのは推奨しません。解の形はひとつに決まらないことが多いし、解答例が間違っていることもあるからです。代入して検算しましょう。
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心が少し痛むとき
• ベクトルとスカラーを足したら無意味だと説きつつ、脳裏をGrassmann代数がよぎるとき
• ゼロで割ったらゼロになるわけじゃないと説きつつ、脳裏を一般化逆行列がよぎるとき
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@iziz_1984
すみません、いつの時代の出来事でしょうか？ 単位に関しては不正行為認定されかねない話なので、少なくとも「今では非合法であり通用しない」などの注記がないと次世代の大学生に悲劇を招くのではないかと思いました。
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気象も物理だ！高校数学が得意な人が地学未履修で気象に来ないのはもったいない！！というようなポストを見かけて、共感しつつ個人的に反省せざるを得ないと感じたのは、拙著は「物理を使うすべての人へ」と銘打っておきながら気象ネタが少ないこと。カオスや安定性の箇所でもっと書けばよかった…。
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@hamamlanagisa
失礼します。多くの方がEulerの公式の書き間違い（iが抜けている）という可能性を指摘されていますが、もうひとつ
e^±θ = cosh θ ± sinh θ
の書き間違いという可能性もありますね。
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物理学科や機械物理系工学科の時間割を見て「数学が多すぎない？物理どこ行った！飛行機は？ロボットは？」と思った人はいませんか。
図書館に行って専門分野の本を見てみましょう。どれだけ専門書に数式が多いか知っていれば、数学の必要性も納得できるかもしれません。
もし機械工学や電気工学に数学が役立ちそうにないというのなら，どうしてそんな無駄なものを工学部で低学年の必修単位にしているのか，逆に疑問に思わないだろうか。どこの大学でも高専でも，工学部には必ず数学の講義がある。〔続く〕
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@follow_against
それもありますが、以前、電卓持ち込みありの試験で、そういう答案に遭遇したことがあるのです。Fibonacci数列の40項めと41項めの比を概算せよ、というような問題を、電卓による数値計算で押し切って、しかもボタンの押し間違いは皆無だったという想定外の答案が…。
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客観的な自然法則に主観的な「美」を持ち込むのは…？
動機づけならともかく、論証の根拠にするのはまずいでしょうね。粘性流体の応力
τ = μ [ ∇u+(∇u)^T -(2/3)(div u)I ] + χ (div u) I
について「2/3は美しくない、だからNavier-Stokesは間違っている」みたいなことを言うトンデモ氏がいました。
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引用先のそのまた引用先にある、漢文の訓読を他国の学者に紹介したらウケまくったという最初の話は（相手の国がどこか明記されていませんが）実際そうなんだろうなと思いつつ、こちらのご指摘も重要なことだと思います。
× 日本すごい
△ 漢文訓読すごい
○ 漢字文化圏では欧州にない方式が発展した
漢文を固有言語で工夫して読む伝統は、日本以外にも朝鮮の吏読や、ベトナムの例などもあるので、あまり「日本すごい」と言い張らない方が良いです。敢えて他のアジア漢字文化圏を切り離す典型的な視野狭窄。
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@_getalong
論より証拠、理論より数値計算という解答は時々ありますね。
@follow_against
それもありますが、以前、電卓持ち込みありの試験で、そういう答案に遭遇したことがあるのです。Fibonacci数列の40項めと41項めの比を概算せよ、というような問題を、電卓による数値計算で押し切って、しかもボタンの押し間違いは皆無だったという想定外の答案が…。
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"将を射んと欲すれば まず馬を射よ" （p.82）
たとえば
dy/dt = 2 y + e^2t (2.3.27)
という方程式は，どうやって解いたらいいだろうか？ 〔中略〕
こんな時は
「難しい問題を解くために手がかりとなるような，もう少し簡単な問題はないか？」
と考えてみる。
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@KEI_Ichinomiya
全く同感です。解を天下りに仮定する解法は、ゲームの"磁力呪文"（行ったことがある町にワープできる）の類だと私は思っています。初めて行く町には磁力呪文は使えないはずで
①手間がかかるが未知の解が求められる方法
②既に見当がついている解を速攻で得る方法
の二本立てであるべきなんですよね。
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一般論ですが、自分のよく知っている分野で、間違ったノートなどが公開されていて、しかもそれが人気を集めていた場合、指摘すべきでしょうか、放置すべきでしょうか。たとえば「相対論は間違っている」だったら？ 「気体は希薄にすると理想流体に近づく」だったら？
倫理的には、何らかの形で（続く）
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@halfsheep
こんにちは。列車やバスがゆっくり発進すると摩擦力だけで車体と人体の速度差をゼロに保てるけれど、急発進するようなことがあると吊革や手すりを介して運動量を供給してもらわないと間に合わないんですよね。力というのは運動量の「ストック」ではなく「フロー」なのだと実感できて面白いです。
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厳密さに欠ける文章を見たとき、なるべく意味が通らないように解釈してみせるのは楽しいことですが、それを賢さだと思いこむのは中学生くらいで卒業すべきであって、なるべく意味がとおるように解釈して有益なものを読みとる能力こそが大人の賢さだろうと思うことがあります。
@tarako_dao
ありがとうございます。やっぱりそうですよね。口頭ではちゃんと説明しているはず…。
裏を返せば、どんな雑な板書だろうと、どんな誤植だらけの教科書だろうと、エラーを修正しながら読む能力を大学生は求められているという意味なのかもしれないとも思いました。
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純粋な目でエグいことを…
持て余してたテンプレ放流してみます笑
純粋な目でエグいことを言わせれば、それらしくなるはずです（技術的なことでも人間的なことでも）
使用例ぶら下がってます⇘
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熱力学だと「圧力は pV = nRT で決まる」とか「温度は分子の運動エネルギーの指標」とかいうのは、確かに中途半端な理解なので、いちど忘れたほうがいい部類かもしれません。まずは"熱力学的な力の釣り合い"的な概念を一般的に理解してからその特殊事例として把握しなおすほうがよさそうです。
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出題者の意図はそのとおりだと思いますが、力ずくの数値計算で正解に到達した答案を不当に扱ってはならないことも出題者や採点者は心に留める必要があります。
解法を工夫させたいなら問題文を工夫すべだし、工夫の方法は唯一ではないので、解答者よりも出題者と採点者の力量が問われる問題ですね。
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計算したとおりの挙動が実際に実現するかどうかを知るには〔中略〕攪乱によって解に生じるずれに着目する。
攪乱によって解に生じたずれが時間経過とともに減少してゼロに収束する場合，この解は #安定である という。逆に，ずれが増大し続けるなら，その解は #不安定である。（pp.217-218）
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課題か何かで微分方程式を解いてみたが合っているのか分からず不安だ、という全国の皆さんへ。
機械の力を借りて検算しましょう。最初からコンピュータにやらせるのは反則ですが、人力で解いたあとの検証をコンピュータでやるのは「あり」だと思います。詳細は こちら（↓）。
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解析的に解ける微分方程式の中で非常に重要な例として
dy/dt = y (2.2.1)
という常微分方程式を考えよう。これは
dy/dt = αy （αは定数） (2.2.2)
という形の常微分方程式の一例（α=1の場合）である。（p.62）
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これは私も切実に知りたいです。たとえば微分方程式の教科書の場合、最終的に「顧客が本当に必要だったもの」は何なのか？
数学の教科書に学生が興味を持つような具体例を入れれば工学部で採用してもらえるだろうって安直に考えがち。微分方程式の教科書にバネマスダンパとかRLC回路入れるとか。実はそれはダウトで、やっぱり普通の数学の教科書のほうが工学系でも選ばれるんじゃないかと最は近感じている。どう？
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Q. この公式は覚えるべきですか？
A. 無理に覚えるものでもないし覚えずに済むものでもありません。覚えようとしなくても手が勝手に覚えるまで何度でも導出して使ってください。何度も歩いた道を足が勝手に覚えるのと同じです。
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「昔の話に目くじら立てなくてもいいじゃないか」というご意見も散見されますが、今の新入生の世代が「ふーん、大学ってこんな感じで何とかなるもんなんだね」と勘違いしてしまうとまずいように思います。（既にご両親から過去の常識を受け継いでしまっている学生さんもいるようなので要注意ですが…）
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テイラー展開の導出の話には
① 関数をn次多項式（n→∞）で表したいという動機
② 有限のnで打ち切っても大丈夫かという問題
の２つの側面があり、どちらに重点を置いて書くかは本によって様々です。著者は①②のどちらの話をしているのか、読者の側でも注意して読まないと混乱するおそれがあります。
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「物理では x(t) と書くのに常微分方程式の本では y(x) と書く」みたいなポストを見かけたんですが、だいぶ観測範囲が狭くないでしょうか…？ 独立変数のデフォルトが t になっているODEの本は、拙著を含め、多数あるように思うのですが。
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@keihun939372
ありがとうございます。そういう場面が前提条件として設定されたうえでの話なら分からなくもないと思います。それでも、東北人である私から見て、その"東京の関西人"に「そうか共通語に合わせないかんなあ」と言ってほしいか「キミも東北弁で話したらいいんや」と言ってほしいかは、かなり微妙ですね。
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予備校に限らず、先生と呼ばれる立場にある人が自戒しなければならないもの。私は「王様病」と呼んでいます。
王様病の症状は、批判を受け付けず、自分に対する批判者を不届き者扱いして裁こうとすることです。専門分野外で活躍したがる名誉教授の先生とか、ネット掲示板の主をしていた某先生とか…。
予備校講師に必要なもの。それは
謙虚さ
教室では先生は独裁者になれる。以前、生徒が某先生の誤りを指摘したところ、その先生は食い気味に「違うよ。俺が正しい」と一蹴。生徒が辞書を開いて食い下がると、ろくに見もせず、「じゃあ、その辞書がまちがってる」と大声を出して追い払っていた。
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高校数学でおなじみの #部分分数分解 ですが、じつは機械工学や電気や建築などの一部の分野では、ある種の専門科目に入ってから頻繁にお世話になります。めでたく大学に合格された #春から工学部 の皆さんにおかれましては、シラバスで「部分分数分解」を検索して確認してみるといいかもしれません。
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たとえば
(dx/dt)² + x² = 1
という常微分方程式は #変数分離の方法 で解くことができて、素直に計算すると x = sin(t+C) という単振動の解が得られます。ところがそのほか下記の図に示すような想定外の解も存在します。分母 ≠ 0 と決めつけると見落とされる解です。
ある種の常微分方程式では #変数分離の方法 や #エネルギー積分 が定石ですが、その際にゼロを掛けたりゼロで割ったりする可能性があり
• ニセモノの解が紛れ込む危険性
• 存在するはずの解を見落とす危険性
が生じます。こういう危険性とうまく付き合うには何が大事なのだろうかという話です。
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基礎物理学とか加工実習とか線形代数とかいった大学の授業科目のランキングが流れてきて、見ると、難しい科目の筆頭に #常微分方程式 が挙げられ「○○先生の授業なんだから」と書いてありました。しかし多分これはその先生のせいではなく、誰が担当しても難しい科目なのではないかと思うのですが…。
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Mori-Zwanzig projection formalism とかも片方の名前が省かれることがあるのでしょうか。
そういえば、とある流体関係者に聞いたのですが、フランス人に Navier-Stokes と言ったら「ストークス何もしてねぇぞ」と言われたことがあるそうです。
Discussion のとき、どんなに変やと思われても絶対にゴールドストンボゾンでは無くて、南部・ゴールドストンボゾンって言うし、一般のゲージ対称性に対してはウォード恒等式じゃなくて、ウォード・高橋恒等式っていう。なんか先達の日本物理学者の貢献が消えてしまうような気がするので
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今日はこちらの本を読んでみることにします。
小中英嗣『現象を解き明かす微分方程式の定式化と解法』
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大学に合格して物理の関係する学科に入学される方は、図書館に行く機会があったら、拙著『常微分方程式入門』の巻末補遺を確認されるといいかもしれません。三角関数や指数・対数の復習から大学初年度の微積分学の予習（双曲線関数やTaylor展開など）までカバーしています。
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来週の講義で、定数係数の線形同次な常微分方程式の工学的応用の話の２回めを予定しています。この手の話には高校数学でおなじみの概念がひょっこり顔を出すので、ためしに、来週の講義で必要になりそうな高校数学の事項を"それっぽい"問題の形にしてみたのですが、いかがでしょうか…？
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@s_ta_ut
FF外から失礼します。
他の方々が指摘されているとおり、複素数には大小関係がないことを背景とする暗黙の設定ですね。私なら「最大値・最小値を求める問題なので、x は実数の範囲で考えよという趣旨であるものと解釈する」と断り書きをしてから解答すると思います。
自分が受験生だった頃、数学の問題文に暗黙の前提がありそうだとか解釈に幅があり得るとか思ったときは、答案の冒頭に
「〜と解釈する」
と書いてから解答するのをマイルールにしていました。記述試験の採点官を全面的に信頼してのことですが、今でもこの方針は間違っていないはずだと思っています。
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巽流体の§４と同じ方針で基礎方程式を解説した原稿を「運動量保存則とエネルギー保存則を第一原理にしているのが気になっている」「保存則を出発点にするのは自分では一度も思ったことはない」という理由で拒絶する名誉教授がのさばっているようでは、巽流体が役目を終えるのは遠い未来の話でしょう。
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@on_your_mark
どちらかというと富山コンベンションビューロー の見解が知りたいです。「苦言など心配せず『#仕事の後に行ってみた』を合言葉に富山出張のオフを満喫していただき、その活力を用務にフィードバックしていただきたい」などとおっしゃっていただけると、みな安心するのでは。
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このギャップを埋める教科書がほしい，と思ったのが，この本（『常微分方程式入門』）の原型となった講義用の配布資料を自分で書き始めた主な動機でした。
もし，この本に何か類書と違う特徴があるとすれば，この動機ゆえの試みとしてご理解いただけるのではないかと思います。
ものすごい数があるのは本当にそのとおり（↓）で、常微分方程式の教科書など数えきれないくらいですが…。それにもかかわらず、自分の授業スタイルにマッチしたものを探そうとするとなかなか見つからず「よし、自分で書こう」となるわけです。あとはその試みがどこまで成功するか。
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@yellowshippo
全く同感です。
代表長さが何なのかを良く見極める前にReynolds数を定義したがるのは流体業界の悪癖で、管内流の成功体験に毒された行き過ぎだと私は思っています。 実際、どんな流れでも臨界Reynolds数が約2000だと思い込んでいる学生は結構いますね。
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#春から大学 の皆さん、おめでとうございます。
大学に進むと自学自習を前提とする仕組みに切り替わるため（）自分で本を読んで自習するのが大事になってきます。
①まずは大学図書館の場所を確認するのをお勧めします。近所に大きな書店があるならそれも。
〔続く〕
高校（生徒）と大学（学生）の違い。
習っていないかもしれない事項を使うのを（教師が自ら）封じる親切設計から、習っていない事項でも自習して追いつけという制度に切り替わるのがポイントだと私は思います。物理に微積を、化学に電子軌道をどこまで使うかなどはその反映に過ぎないわけで…。
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ラジオの選局に由来する言葉だったと思います。共振状態に近ければ位相は自発的に引き込むから、初期状態として位相が合うも合わないも関係ないでしょうね。
ただ「周波数が合う」「ヘルツが合う」ではなく「波長が合う」が定着した経緯は不思議ですが。
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「ひとの話を聞いてばかりで自分の頭で考えないと何も見えてこない。自分の頭で考えてばかりでひとの話を聞かないとトンデモ化する。」（コンフキウス）
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岡島先生も「質疑応答に向けた事前準備を」とおっしゃっていますね。
学生には、「素人質問で恐縮ですが」と教員から質問がきたときに、専門外の方にもわかるような説明をすべく、質疑応答に向けた事前準備をしっかりして発表に臨んでほしいもんです。
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