坂どん
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何をするにしても，ウサギよりカメの方が得をすると思う．
周りと比べて自分は凄いんだと証明したがるウサギより，自分の世界を楽しむためだけに前に進むカメの方が生きやすい．
そんなカメに僕はなりたい．
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@chu1145141919
三平方の定理の定理は使わなくても良いですね．
確かに初歩的ではありませんが，高校数学の三角比に向けて良い助走となるので，この程度の問題には是非とも小学生のうちから立ち向かって貰いたいものです．
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中学入試の算数で個人的に好きなのは，1995 年に出題されたこの問題．
たかが計算問題なのに，受験生にとっては難易度がエグいくらい高いと言っても過言ではないところが好き．
最終的な答えが 1995 にまつわる値になったあなたは，作問者の罠に見事なまでに引っかかっています．
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18 ÷ 0 の件，みんな「解なし」って言ってるけど，方程式でも無いのに「解」って言葉を使っていることに何かしら思うところとかは無いのかな？
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y＝ax²+bx+c は y＝bx+c からの誤差が ax² っていう基礎基本が当たり前な世の中にしていきたい．
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難関大志望者には「丸暗記しようなどと甘ったれるな．ノータイムで導けるようになるまで何度も導け」と言ってます．
参考↓（和積・積和のアレコレ）
急募 (いろいろすいません)
三角関数の和積の公式は覚えてますか？
覚えている人はどうやって覚えてますか？
そして、覚える必要はあると思いますか？
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そもそも，
𝑥⃗･𝑦⃗＝|𝑥⃗||𝑦⃗|cos(θ)
det[𝑥⃗, 𝑦⃗]＝|𝑥⃗||𝑦⃗|sin(θ)
という「内積と det の双対性」を理解していれば，
(𝑥⃗･𝑦⃗)² + (det[𝑥⃗, 𝑦⃗])²＝|𝑥⃗|²|𝑦⃗|²
はわざわざ意識的に覚えようとしなくても「当然のように成り立つな」と感じられるのではないでしょうか？
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これに対する「対数取れば良いじゃん」みたいな反応，感心しない．
寧ろ，この数値設定でわざわざ対数を使う方が目を疑うかもしれない（目を疑うは言い過ぎかも）．笑
計算が大変と言うのなら，1000³ と 1100³ で上下から抑えて評価してやれば，対数を使うよりも楽に処理できる．
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供養
小4子供の夏期講習の問題。気付かなければ解けない。
『斜線部の面積はいくつか』
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【数学教師になる人にオススメな本】(大体オススメ順↓)
・青木『数学の真髄―論理・写像―』
・嘉田『論理と集合から始める数学の基礎』
・宮腰『高校数学 + α』
・梶原『線形代数のコツ』
・加藤『大学教養 微分積分』
・青木『入試のツボを押さえる重点学習』
・広瀬の「合格る」シリーズ（全種）
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寧ろ初学者であっても解けてほしい問題．
解けないのは，問題文さえ理解できれば，だいたい自分の数学力を過小評価していることが原因．
要は自信が無いんだよな．自分の知っている解法に帰着できなければ無理とか思っている．
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高校数学の「構内図」
※ 建物と同じで，より下にあるものの方が基礎，より上にあるものは応用です．
高校数学を学ぶときの道しるべとして参考にしてください．
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このようなミスをするということは，「この問題の作問者や解答作成者は，普段から必要条件しか考えておらず，十分性とか答えの適・不適を考えていない」ということの証左ですよね．
数学の教材の作成に携わる者としてはあまりにも数学力が低すぎませんか？
数研出版はこの件を重く見るべきです．
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X がどんな実数であっても
|X|＝max{X, −X}
が成り立つので，x ∈ ℝ の下で
|x−7| + |x−8| < 3
⇔ max{x−7, 7−x} + max{x−8, 8−x} < 3
⇔ max{2x−15, 1, −1, 15−2x} < 3
⇔ max{−(2x−15), 2x−15, 1} < 3
⇔ −(2x−15) < 3 ∧ 2x−15 < 3 ∧ 1 < 3
⇔ 6 < x < 9
とかは有名？
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0 < ∫₀¹ x⁴(1−x)⁴/(1+x²) dx＝22/7 − π
より，π < 22/7．
また，
2400 < 2401
⇔ 20√6 < 49
⇔ 240 < 98√6
⇔ 485 < 49(5 + 2√6)
より
484/7² < (√2 + √3)²
すなわち
22/7 < √2 + √3．
よって π < 22/7 < √2 + √3 を得る．∎
で良くね？ってなってる．
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むしろ，理解できている教員に出会う方が難しいという印象が ⋯ ．
例えば，
θ が実数全体をくまなく動くとき，𝑥 についての方程式：
𝑥²−2𝑥cos(θ)+sin(θ)＝0
の実数解 𝑥 が取りうる値の範囲を求めよ．
という問題が簡単に見えないとか．
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教科書やチ○ート式等で植え付けられた高校数学の病根（特に論理運用面）を叩きのめしてくれる２冊．左はかなり本格的だから「自分にとってはハードルが高い」と感じる人も多くいるだろうけど，右は標準的な難易度（勿論，内容もしっかりしている）なので，かなり多くの人にオススメできる．
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流石にそんな問いかけではないだろうけど，個人的には便利かつ覚えやすいので「余裕があったら覚えちゃおうぜ」とオススメする派．
実用上は ₙCₖ で割って使います．
今回の問題であれば，
(5−3)⁹/(9･₈C₃)＝64/63
と暗算で終わる．
本日の理科大の小問。
「β関数の積分公式を覚えてますか？」
という問いかけでしょうか。
理科大は知識で差がつく問題が好きな印象です。
#数学入試問題2024
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趣旨とは全然異なるけど，なんか観賞用に良いな，このプリント．笑
「暗記チェック」なる文を削除して子どもに配れば，その美しさに驚いて，証明したがる子は絶対出るはず．
それだけで授業のネタになる．
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「記述の際には同値記号を使わない方が良い」という言説，全く賛同できない．
A ⇔ B
⇔ C
と同値性を示したいものを，わざわざ
A と B は同値であり，B と C も同値である．
などと書くのはただただ面倒なだけだし，答案用紙の紙面および試験時間の圧迫にもなる．
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これは僕の予想ですが，多分，連立方程式を習った中２も「方程式は計算，関数はグラフで，全く別ものにしか見えていない」のだと思います．
「理屈はよく分からないけど，なんか連立すると共有点が求まる」程度の認識かと．
なんなら教育者側にもその程度の認識のままでいる人は多いのでは ⋯ ？
中2の連立方程式の単元で、一次関数の交点と方程式の解が一致することを学んでいるはずなのに、方程式は計算、関数はグラフで、全く別のものにしか見えてない高校生が山ほどいるのが悲しい。
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tan(α)+tan(β)+tan(γ)＝tan(α)･tan(β)･tan(γ)
の図形的解釈です．
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f(x)＝sin(x)，g(x)＝cos(x)
とすれば
f′g+fg′＝cos²(x)−sin²(x)
||
(fg)′＝(sin(x)cos(x))′＝(sin(2x)/2)′
＝cos(2x)
だから
cos(2x)＝cos²(x)−sin²(x)
が導けるとかはあるとは思いますが，より発展できるでしょうか ⋯ ？
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数学的帰納法，数学教員や数学講師の方が「数学的帰納法，誤解してたわ ⋯ ！」と呟いているのを稀に観測しているのだが，個人的には「どのように誤解していたのか」に非常に興味がある．
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この「有理数・無理数とは？」の説明の部分が特に酷い．
「有理数・無理数とは？」という問いに対する説明ならば，有理数や無理数の定義が語られるべきはずなのに，定義じゃなくてお粗末な「点取りテクニック」の説明しかしていない．
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「たかが 3 次関数相手に，導関数のグラフの下位互換でしかない増減表を書く意味なんて（実用上は）無いでしょ．導関数のグラフとの対応こそ重要」と指導したら上司格の他の先生に「増減表で教えろ」と怒られたことを思い出しました ⋯ ．
反りが合わなかったなぁ ⋯ ．
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内積の導入，盛大にミスった（ような気がする）．
内積を定義して，その定義の確認問題を解いてもらったのだが，多くの子に「内積なんて考えて，何が嬉しいんですか？」と突っ込まれてしまった．
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個人的な極端な教材観かも知れないけれど，チェバの定理やメネラウスの定理を教えている暇があるなら，それより先に「面積比と線分の比の関係」をガッツリ教えるべきだと思うの．
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共通テスト，入試を変えることで教育を変えたい・学習者の思考力を伸ばしたいのなら，真っ先に問題量で試験時間を圧迫するスタイルを辞めるべきだと思う．
試行錯誤って時間がかかるの知ってる？
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x³−3x+1＝0 と来たら x＝2cos(3θ) と気づくのとかも，形を覚えていないと面倒な部分がある．
cos3θを出すだけだったらその都度、導出すればよいんだけど、
-3cosθ+4cos^3θときたらcos3θと気づくのが入試数学という箱庭の中では大切だと思う。
微分の公式はいらなくても積分の公式がいる的な...
もちろん、導出する態度は大切。
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これで答えが合わない理由は？？
#大学受験
『数学の真髄─論理・写像─』を読んでいて気になった．
（元ネタは引用）
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ところで，区間の記号：
(a, b)
[a, b]
(a, b]
[a, b)
って上 2 つが座標にも見えるから，上から順に
(a∼︎b)
[a∼︎b]
(a∼︎b]
[a∼︎b)
のように書きたい気持ちが強いんですけど，なんか似たような記法って存在するんですかね？（ n 回目）
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二重根号は
√{5−2√6}＝√a−√b（a ≧ b）
と変形したいから，平方して
5−2√6＝(√a−√b)²＝a+b−2√{ab}
ゆえに
(a+b, ab)＝(5, 6)
となる a, b が見つかれば良いなと逆算して，{a, b}＝{2, 3}.
a ≧ b より
√{5−2√6}＝√3−√2
と得る活動をメインにやっています.
丸暗記を撲滅したい.
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行列は無くなってしまいましたが，まだ複素平面は残っていますので，導入などでこれに似た遊びができると思います．
僕はつい最近の複素平面の導入にて，昨今の情勢とクラスのレベル・雰囲気を総合的に判断して，猫じゃなくてブーメランみたいな感じにしましたが ⋯ ． #数学授業の教材
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数学Ⅰ･Ａ･Ⅱ･Ｂは教科書やめて代わりにこれ教科書にしたい．
かなり完成度高い神書．
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てか，今高校生に教えてて驚くのは，漸化式から数列の一般項を求める問題で，解き方分からないのはまだしも実験すらしない生徒の多いこと多いこと ⋯ ．
「君たち今までは何を勉強していたの？」って口から出かかった．
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実質的に同じことですが，素数 p に対して mod p で考えると，どんな整数 x, y に対しても (x+y)^p ≡ x^p + y^p が成り立つので，
m^p
≡ 1^p + (m−1)^p
≡ 1 + 1^p + (m−2)^p
≡ 1 + 1 + 1^p + (m−3)^p
︙
≡ 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1
≡ m
と示すのも有名ですよね．
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「オイラーの公式は、覚えていると加法定理を忘れたときにすぐ導けるから凄い。」なんて言ってくる輩が多いんだけどさ、加法定理なんてこの図使えば5秒くらいで出てくるやん。
オイラーの公式の凄さはそこじゃないだろう。
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これ，接弦定理の説明の際によく話しますが，この GIF 画像凄く良いですね！
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放物線 y＝ax²+bx+c の x＝0 における接線が y＝bx+c であることは勿論，放物線 y＝a(x−t)²+px+q の x＝t における接線が y＝px+q であることや，放物線 y＝a(x−α)(x−β)+rx+s が x＝α, β において直線 y＝rx+s と交わることなんかは，数学Ⅰのうちに常識にしておきたい．
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なーんかコメント欄に共感できないコメントがちらほら．
「f(x)＝ax²+ ⋯ (ただし a > 0) に対して，f(x₀) < 0 となるような x₀ ∈ ℝ があれば ，2 次方程式 f(x)＝0 は異なる 2 実解を持つ」という主張なんて基礎中の基礎過ぎて，汎用性がどうのこうのの問題じゃない．
教員「f(x)=x²-4kx+3k²-2=0の解の個数は？」
生徒「f(k)=-2なので2個」
教員「ちょっとなにいってるかわからない」
生徒「かなりなにいってるかわからない」
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東京大学 大学入試 2019 年
理系数学 第１問
出題者の意図を汲んだ解法．
求める積分値はＩと置き，Ｊの計算はかなり丁寧めに記述しました．
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東工大 1968
順列のPって教科書にあるから一応紹介するけど、マジで必要ないですね。
てかPがあるせいで数学が苦手な人はCとかPに惑わされてる気がする。
基本は如何にして数え上げるか。PやCはその1つに過ぎないし, その基礎は小中学校で習う樹形図であることは言うまでもない。
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教育者の端くれとしては恥ずかしい話なんだけど，三角比の導入を直角三角形の辺の比で行う必要性を充分理解できていない･･･．
というのも，塾講で教えているとき，割と地頭が良い生徒でさえも，直角三角形の比から単位円の座標に移るところで理解できなくなってしまうということが多々あるからだ．
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文字の書き分けや覚えるべき記号，覚えるべき値や公式のまとめ．
文字の書き方に改善案があったり，他にも覚えるべき値があったりすれば教えて下さい．
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公式を覚えるか覚えないかは，その公式に依る.
その場で計算できるのでマジで覚える必要がない(なんなら覚えると弊害のある)公式もあれば，学習を円滑に行うために覚えるべき公式もある.
ただし，覚えるべき公式であったとしても，理屈を理解しないまま丸暗記するのは様々な障害を生むため非推奨.
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f(x) は x についての 2018 次多項式であるとする．次の関係が成り立つとき，f(2020) の値を求めよ．
#パズル #数学の問題 #坂どん #ますらば良問 #数学難問良問集
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群数列は
① 群分け前の数列を {aₙ} とおく
② 群番号と各群の項数を書く
③ 各群の末項に着目する
（Σ[各群の項数]＝f(k) とおくと，第 k 群の末項は a_{f(k)} になる）
の 3 点を強調しています.
特に ① をしながら書き出して ③ が成り立つことを見せると分かりやすいようです.
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多項式版合同式推進派「
≡ は mod (x³+x²+x+1) とする.
x⁴−1＝(x−1)(x³+x²+x+1) ≡ 0
すなわち x⁴ ≡ 1 であることに注意すると，
x²⁰²⁵＝x･(x⁴)⁵⁰⁶ ≡ x･1⁵⁰⁶＝x
すなわち x²⁰²⁵ ≡ x であり，これと
deg(x)＝1 < 3＝deg(x³+x²+x+1)
を合わせて考えれば，求める余りは x である．」
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「あからさまに“放”べきの定理（画像参照）の構図であることと，直線 y＝ax の傾きの絶対値と直線 y＝−ax の傾きの絶対値が等しいことから，（本来の）方べきの値が等しくなることがミエミエなので，方べきの定理の逆から同一円周上であることが言えるなぁ」というのが第一感ですかね．
いつぞやの
名古屋大学オープン模試の問題。
アプローチが
何種類もあって楽しめる。
皆さんは
初手を何にしますか？
そして、解答記述するなら
どの道で進めますか？
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@有識者の方々
『数学Ⅲ 基礎問題精講』の４０番 (2) の解説冒頭部分：
「y＝f(x) と y＝f⁻¹(x) が異なる２点で交わる」ことと，「y＝f⁻¹(x) と y＝x が異なる２点で交わる」ことは同値．
って，これ一般には成り立たないですよね･･･？
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僕，骨が抜かれているはずの魚料理に骨が入っているって経験がめちゃくちゃあって，例えば過去には，骨抜きと書いてあった焼き魚に骨が入っていたり，刺し身や寿司に骨が入っていたりなどの実績があるのですが，今日ついに鮭のふりかけに骨が入っているという実績を解除しました．
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和積や積和の公式の証明ネタが流行ってる（もう乗り遅れてる？）みたい．
加法定理で導くとか，いやそもそも加法定理はベクトルで証明してたんだから和積もベクトルで証明しようよとか，その辺が有名どころだけど，オイラーの公式を使ってる説明をあまり見かけない気がする．
これもこれで味わい深し．
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@884_96
何も不思議ではなくて，単に「(x+a)(x+b)＝0 の解は x＝−a, −b である」って解き方だけを模範解答を通して表面的に覚えているからですね.
原理を考えていないのです．彼らにとっては数学は「問題が解ければ良し」であり，これまで出題された問題も原理を考えずとも機械的に解ける問題ばかりなので.
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義務教育の敗北を感じるな．
式：90–35＝55 答え：55 円
は 55 が得られる理由になっているが
式：35+55＝90 答え：55 円
は 55 が得られる理由になっていない
などと訳のわからない発言をする人が教育者の中にすら存在するらしい．
「＝」の意味を習わなかったのかな？
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a^{㏒ₐ(x)}＝x
が初学者には分かりづらいとか百も承知なんだよな.
ただ，この ㏒ の定義を避けたら後がもっと分かりづらいんだよ.
だからこれは避けて通っちゃダメ.
a^{㏒ₐ(x)}＝t
㏒ₐ(a^{㏒ₐ(x)})＝㏒ₐ(t)
㏒ₐ(x)＝㏒ₐ(t)
x＝t
∴ a^{㏒ₐ(x)}＝x
しかやらないのは，もっと分かりづらい.
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ただ単純に良問なだけで，リプ欄の一部が地獄．
(π×4²)×4/(2π×4)＝8 [㎠]
と中学範囲の基本的な知識（円の面積公式・円周率の定義・掛け算の感覚 (倍率)）だけで難なく解ける．
高校生以上の公式やら知識やらは不要．
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僕は
「基礎」
と
「基本」
と
「初歩」
を区別しています.
「基礎」は定義や定理の証明・直感的理解．数学そのものへの理解の「土台」となるもの.
「基本」は定理の証明やあらゆる問題を解決するときに使う汎用的な考え方．問題解決の「軸」となるもの.
「初歩」は初めに触れるような簡単なもの.
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僕は三角比の段階で初っ端から sin, cos, tan を単位円で定義したい派なんですが，まずは直角三角形で定義するという教科書通りの流儀と比較して，イキナリ単位円で定義する場合の「危なそうなところ」ってどこだと思います？
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教員免許，無い人が教員できちゃうのは反対だけど，現状「教員免許取れちゃだめでしょ」ってレベルの人間が教員しちゃってるの Twitter ではよく観測されるから，生半可な改革は「教員免許無しでも教員になっておけ」よりも無意味よね．
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値の評価ってそもそもそういうもの．
直接計算できるなら計算してしまえば良いし，それが大変であれば挟んで評価してやれば良い．
対数がらみの問題のように，初めから近似値が与えられている方が特殊だし，そもそもその近似値も誰かが事前に直接計算 or 挟んで評価してくれたものだし．
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高木『解析概論』が無料で読めるのか ⋯ ！
今知った ⋯ ．
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（正確には ㏑(x)＝∫₁ˣ dt/t であることは置いといて）
数学では同値ならどれを定義に採用しても構わないのが数学の面白いところの一つですよね．
高校数学では他にも「一次独立の定義を何にして，どう話すと自然か」などと考えてます．
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高校生の頃は「露骨なチェバ・メネ封じだなぁ．仕方ない．ベクトルで解いてやるか」とか思っていたけど，数Ａ･Ｂの教材研究を並行しているうちに，これも初等幾何の問題に見えて来た．
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絶対値を含む(ほぼ１次の)方程式・不等式の時点で，高校生の学習観って結構見て取れるなぁと思った．
例えば |2x−6| > x+3 とか.
よく分かっていないのに，実験すらしない子が本当に多い．
みんな本の解法を猿真似して，とりあえず場合分けをするんだけど，その場合分けがマトモじゃないとかザラ．
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高校の数学の先生が論理の勉強をするのにオススメな本（ → と ⇒ の区別もあり）．
あとは『論理学で学ぶ数学』も，実際の入試問題でどう運用していくかが分かりやすい（ただし，こちらは → と ⇒ をあまり区別していない）．
#論理の勉強会
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その「公式」がかなり非自明なものならおっしゃりたいことは分からなくもないですが，高校数学までに出てくる「公式」（の殆ど）は「フツーに考えただけのもの」を一般化しただけのものなので，証明を通して「フツーに考えたら解ける」と理解することは，公式の丸暗記とは雲泥の差があるかと思います．
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@Applemitai2
解答解説の方ってどうなってますか？
解答解説でも √6/4 のままで進んでいるのなら単なる誤植ではないので，教材作成者の数学力がクソ低いことの証左になり，大手学参出版社としてはヤバいと思います.
まぁ数研出版は他にも余罪が沢山あるので，数研出版がヤバいのは一部では常識かも知れませんが.
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通知が凄いのでミュートしてます ⋯ ．
反応されていない方，すみません ⋯ ．
キリがないので ⋯ ．
ところで「高校生になったらこんな補助線引きません」的な反応をしばしば見かけます.
勿論
S＝(1/2)bcsin(A)
を脳筋適用すればそうかも知れませんが，この公式や
sin(30°)＝1/2
の成り立ち・理屈を
@chu1145141919
三平方の定理の定理は使わなくても良いですね．
確かに初歩的ではありませんが，高校数学の三角比に向けて良い助走となるので，この程度の問題には是非とも小学生のうちから立ち向かって貰いたいものです．
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等差数列の漸化式を敢えて
aₙ₊₁＝aₙ + d
⇔ aₙ₊₁＝aₙ + d{(n+1)−n}
⇔ aₙ₊₁ − d(n+1)＝aₙ − dn
と等比型（定数型？）に変形してみるところを見せておけば，
aₙ₊₁＝3aₙ + 3ⁿ⁺²
も同様に 3ⁿ⁺² を（ 3 : −3 に分けるのは不可能なので）自然と n+1 と n に分けられる．
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これ，数学もそう.
毎日コツコツ，地道に数学への理解を深めるしか上達への道は無い.
どの道，一朝一夕には上達しない.
ただ，最も効率良く上達する方法は一応あって，それは専門性が高くて的確な指導を手厳しくできる先生に滅茶苦茶食らいつくこと.
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初学者は大体分母を払って因数分解しようとしたり何か前のやつのアナロジーをしようとして手が止まって諦めモードに入りがちなんだけど，そこで「諦めるな！絶対解けるぞ！」と松岡修造バリに応援して見守っているといつか実験し始めて解けるイメージ．
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@totomityann
というか，その論法を使うのは，背景に「そもそも立式を問う問題自体が無意味だよね．悪いよね」という意図があるかと．
24 をどう数えるのも自由なので，同じ 24 になるなら，どんな立式であってもバツにすることはできないってことを主張したいときに，極端な例を持って来たりするんだと思います．
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2 次方程式の解の配置，「異なる 2 つの解」だと重解は含まれず，単に「 2 つの解」だと重解は含まれるものとする謎の慣習は無くなって欲しいし，「 2 つの解をもつ」と言った上で重解を含めて欲しいのなら（ ≠「少なくとも 1 つの解をもつ」）問題文が但し書きをする文化を徹底して欲しい．
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分母の 4a² にまで √ を被せなければ a の符号での場合分けは不要です．
(x+b/(2a))²＝(b²−4ac)/(4a²)
⇔ (x+b/(2a))²＝(√{b²−4ac}/(2a))²
⇔ x+b/(2a)＝±√{b²−4ac}/(2a)
⇔ x＝(−b±√{b²−4ac})/(2a)
要は X²＝A² ⇔ X＝±A を使うだけで良い．
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@Applemitai2
ありがとうございます．
「数学の教材を作成できるレベル」には全く達していませんね ⋯ ．
⋯ ちょっと言葉を失っています ⋯ ．
数研出版クオリティー（もちろん低クオリティー）を改めて実感いたしました．
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まぁ，それを意識して敢えてそう呼んでいるのなら別に良いと思います．笑
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